3.1 / formas canônicas
Formas canônicas
Toda expressão booleana possui uma expressão logicamente equivalente que pode ser escrita na forma de disjunção (soma) da conjunção (produto) de termos com todas as variáveis independentes.
Por exemplo, as funções abaixo são logicamente equivalentes (verificar na tabela-verdade):
A função $f_2$ está na forma soma de produtos — uma das duas formas canônicas das expressões booleanas.
mintermo
Termo que constitui a conjunção de todas as variáveis e determina resultado 1 para a função. Em $f_2$, os mintermos são $A.\bar{B}.C$, $A.B.\bar{C}$ e $A.B.C$.
Em se tratando de três variáveis (A, B, C), há no total $2^3 = 8$ combinações possíveis de produtos — mas nem todas determinam resultado 1, portanto nem todas são mintermos.
A segunda forma canônica, dual da soma de produtos, é o produto de somas — conjunção da disjunção de termos com todas as variáveis. Não será utilizada neste curso.
Como obter a forma canônica
Pode-se obter a expressão equivalente na forma de soma de produtos de duas maneiras: aplicando os teoremas e axiomas da Álgebra Booleana, ou aplicando a tabela-verdade.
Via tabela-verdade
- Gerar a tabela para a expressão original.
- Identificar os mintermos que resultam 1.
- Gerar a expressão equivalente a cada mintermo que resulta 1.
- Escrever a expressão como a disjunção dos mintermos.
3.2 / projeto de circuitos combinacionais
Três métodos de projeto
Interpretação direta
- Interpretar o problema, expressando a solução na forma algébrica.
- Substituir as operações pelas portas lógicas equivalentes.
⚠ Não garante a forma mínima da expressão — pode resultar em circuito com mais componentes que o necessário.
Interpretação com minimização algébrica
- Interpretar o problema, expressando a solução na forma algébrica.
- Minimizar a expressão aplicando os teoremas e axiomas da Álgebra Booleana.
- Substituir as operações pelas portas lógicas equivalentes.
⚠ Nem sempre é simples inferir diretamente a expressão algébrica a partir do problema formulado.
Via tabela-verdade e forma canônica
- Interpretar o problema, expressando a solução na forma de tabela-verdade.
- Construir a expressão na forma canônica de soma de produtos.
- Minimizar aplicando os teoremas e axiomas — a adjacência lógica é direta aqui.
- Substituir as operações pelas portas lógicas equivalentes.
3.3 / mapa de karnaugh
Simplificação com Mapa K
Método gráfico para simplificar expressões booleanas. O Mapa K compreende uma tabela com as variáveis de cada mintermo apresentadas nas linhas e colunas, rotuladas de modo a assegurar adjacência lógica entre células vizinhas.
regra de preenchimento
Cada célula do Mapa K é preenchida com 1 para os mintermos pertencentes à expressão na sua forma canônica.
Mapas K de 3 e 4 variáveis
Fig. 3.1 — Estrutura do Mapa K para 3 e 4 variáveis
Passo a passo
- Construir o Mapa K.
- Agrupar pares, quartetos ou octetos de 1s — desenhar as maiores combinações possíveis; pode haver interseção de grupos.
- Substituir cada grupo pela expressão equivalente, considerando somente as variáveis que não se alteram no grupo.
- Escrever a expressão como disjunção das expressões dos grupos obtidos.
- Incluir na expressão os 1s isolados — aqueles que não puderam ser incluídos em nenhum grupo.
💡 As colunas e linhas das extremidades são adjacentes entre si — é possível formar grupos com elas.
💡 As expressões mínimas são logicamente equivalentes, mas podem não ser únicas — dependem dos grupos constituídos.
Simplificação com don't care
Existem problemas em que não importa o valor da saída para certas condições de entrada — a condição don't care (indicada por X no Mapa K).
Uso do don't care
- Construir o Mapa K, incluindo X (don't care) nas células correspondentes.
- Incluir X nos grupos de 1 somente se isso permitir constituir grupos maiores.
- Desconsiderar o X (admitir igual a 0) quando não contribuir para grupos maiores.
- Escrever a expressão como disjunção das expressões dos grupos obtidos.
- Incluir na expressão os 1s isolados.
checkpoint
Teste seus conhecimentos
Uma função de 4 variáveis booleanas admite quantas combinações possíveis de entrada?
Qual é a principal limitação do Método 1 (interpretação direta) de projeto de circuitos?
No Mapa K, quando um X (don't care) deve ser incluído em um grupo de 1s?
referências e aprofundamento