Prof. Clayton J A Silva · Ibmec Rio · Programação Linear — Ciência de Dados
Este é o trabalho da disciplina de Programação Linear, do curso de Ciência de Dados. Ele propõe três problemas aplicados, construídos a partir de dados públicos reais das áreas de finanças, logística e vendas. As empresas e as políticas internas descritas em cada enunciado são fictícias, mas os dados que você vai extrair, tratar e usar para montar cada modelo são reais.
Como esta é uma das primeiras vezes que a turma trabalha com extração e tratamento de dados, todo o material necessário já foi baixado da internet e organizado em planilhas prontas para uso, com nomes associados a cada problema (por exemplo, Problema1_Financas_DadosBCB.xlsx). Você não precisa programar nada: todos os cálculos — médias, desvios-padrão, proporções — devem ser feitos no Excel (ou em outra planilha eletrônica equivalente), usando funções simples como MÉDIA(), DESVPAD.A(), MÉDIASE() e SOMASE(). A própria resolução do modelo de Programação Linear e a obtenção dos preços-sombra também devem ser feitas no Excel, com o suplemento Solver (menu Dados → Solver; se a opção não aparecer, ative-a em Arquivo → Opções → Suprimentos → Solver).
Para cada um dos três problemas, sua entrega deve conter cinco partes, sempre na mesma ordem: (i) a extração e a limpeza dos dados indicados, feitas à luz da interpretação do enunciado; (ii) a modelagem matemática do problema de Programação Linear, usando os valores médios calculados a partir dos dados reais como parâmetros do modelo; (iii) a interpretação da solução ótima obtida, incluindo a identificação e a discussão das restrições que ficaram "no limite" (ativas) e das que apresentam folga ou excesso; (iv) a análise de sensibilidade do modelo, obtendo e interpretando os preços-sombra de cada restrição (o Relatório de Sensibilidade do Solver fornece esses valores automaticamente); e (v) uma conclusão final que retome o pedido do enunciado, com uma recomendação objetiva de decisão.
Todas as premissas de negócio que não decorrem diretamente dos dados (por exemplo: orçamentos, capacidades, custos unitários e políticas internas de cada empresa fictícia) estão explicitadas nos próprios enunciados — apenas o enunciado é fictício; os dados que o alimentam são reais.
Com dados reais do Banco Central (CDI, Selic, IPCA e dólar), definir como alocar R$ 10 milhões entre quatro classes de ativos de modo a maximizar o retorno mensal esperado, respeitando limites de liquidez, concentração, proteção e risco.
Com dados reais de rotas aéreas (distâncias geográficas e frequência histórica de voos), definir quantos voos mensais alocar a cada uma das 6 rotas mais importantes de um hub, maximizando o nível de serviço sem estourar o orçamento nem os limites contratuais.
Com dados reais de vendas de diamantes lapidados, definir quantos quilates lapidar em cada categoria de corte de modo a maximizar a receita mensal, respeitando matéria-prima, mão de obra especializada e demanda de mercado.
O trabalho deve ser entregue até o dia 13/10/2026. Nessa mesma data, cada grupo deverá apresentar formalmente os seus resultados à turma (apresentação oral, com tempo a ser combinado em sala de aula).
No dia da apresentação, cada grupo deve enviar ao professor, para os três problemas resolvidos:
Este trabalho corresponde a 30% da nota final da disciplina (nota de até 3,0 pontos), somada à nota da prova, que corresponde aos 70% restantes (nota de até 7,0 pontos). A nota final da disciplina será lançada pelo professor no sistema acadêmico.
Todos os artefatos entregues devem conter, na capa ou na primeira página, a identificação de todos os integrantes do grupo. O próprio grupo deve atribuir a cada integrante uma nota de participação individual, de 0 (zero) a 3 (três), refletindo o envolvimento de cada um na realização do trabalho.
| Nome do integrante | Nota de participação atribuída pelo grupo (0 a 3) |
|---|---|
A Ápice Capital Gestora de Recursos Ltda. é uma gestora de recursos fictícia, responsável pela administração de uma carteira multimercado de R$ 10.000.000,00 (dez milhões de reais), pertencente a um fundo de pensão igualmente fictício. O comitê de investimentos da gestora solicitou um estudo quantitativo para definir a alocação desse capital entre quatro classes de ativos disponíveis no mercado brasileiro, respeitando um conjunto de políticas internas de risco e liquidez aprovadas pelo comitê de risco da gestora.
As quatro classes de ativos consideradas são: (a) fundos referenciados DI/CDI, de liquidez diária e baixo risco; (b) títulos públicos prefixados, cujo retorno esperado deve ser tomado como equivalente mensal da meta da taxa Selic média vigente no período; (c) títulos públicos indexados à inflação (Tesouro IPCA+), cujo retorno mensal deve ser composto pela variação média do IPCA somada a um spread médio de mercado de 6,00% ao ano, praticado em títulos de médio prazo dessa natureza; e (d) fundos cambiais, referenciados à variação da taxa de câmbio comercial do dólar americano.
A política de investimentos da gestora estabelece as seguintes regras, válidas para o período de alocação:
Os quatro indicadores usados neste problema (CDI, Selic, IPCA e dólar comercial) são publicados diariamente ou mensalmente pelo Banco Central do Brasil, de forma gratuita, no Sistema Gerenciador de Séries Temporais (SGS).
| Classe de ativo | Indicador | Link oficial (fonte original) |
|---|---|---|
| DI/CDI | Série SGS 12 | api.bcb.gov.br/dados/serie/bcdata.sgs.12/dados |
| Prefixado | Série SGS 432 (meta Selic) | api.bcb.gov.br/dados/serie/bcdata.sgs.432/dados |
| IPCA+ | Série SGS 433 (IPCA mensal) | api.bcb.gov.br/dados/serie/bcdata.sgs.433/dados |
| Cambial | Série SGS 1 (dólar comercial) | api.bcb.gov.br/dados/serie/bcdata.sgs.1/dados |
Para não exigir que a turma acesse diretamente esses links (que retornam dados em formato de código, não em planilha), os quatro indicadores já foram baixados e organizados na planilha única Problema1_Financas_DadosBCB.xlsx, com uma aba para cada série (CDI_serie12, Selic_serie432, IPCA_serie433 e Dolar_serie1), cada uma com duas colunas: Data e Valor.
Em uma coluna auxiliar, calcule, para cada linha, o equivalente mensal daquela taxa diária com a fórmula
=((1+B2/100)^21-1)*100(o expoente 21 representa o número aproximado de dias úteis em um mês). Depois, use =MÉDIA() e =DESVPAD.A() sobre essa coluna auxiliar para obter o retorno médio mensal e o risco (volatilidade) do CDI.
Mesma ideia, mas a fórmula da coluna auxiliar é
=((1+B2/100)^(1/12)-1)*100Em seguida, use MÉDIA() e DESVPAD.A() sobre essa coluna.
Não precisa de coluna auxiliar. Use =MÉDIA() e =DESVPAD.A() diretamente sobre a coluna Valor. Para obter o retorno do IPCA+, some ao resultado da MÉDIA() o valor do spread mensal de 6% a.a., que se calcula uma única vez com
=((1,06)^(1/12)-1)*100O risco do IPCA+ é o mesmo desvio-padrão do IPCA.
Crie uma coluna auxiliar com a variação percentual entre um dia e o dia anterior:
=(B3-B2)/B2*100Calcule a MÉDIA() e o DESVPAD.A() dessa coluna (valores diários) e, em seguida, converta para a escala mensal multiplicando a média por 21 e o desvio-padrão por =RAIZ(21) (regra simples de conversão de escala do dia para o mês).
Com os 4 retornos e os 4 riscos em mãos, monte o modelo de Programação Linear definindo 4 variáveis de decisão (a fração do capital em cada classe) e escrevendo a função-objetivo e as restrições exatamente como descritas no enunciado (item 3.1). Resolva o modelo no Solver do Excel.
O que é a análise de sensibilidade?
Depois de resolver um modelo de Programação Linear, é natural perguntar: "o que aconteceria se um dos números do problema mudasse um pouco?" A análise de sensibilidade responde exatamente a isso, sem precisar refazer o modelo do zero. Ela mostra, para cada restrição, um número chamado preço-sombra (ou valor dual): o quanto o resultado ótimo (aqui, o retorno mensal da carteira) mudaria se o limite daquela restrição aumentasse em uma unidade. Uma restrição que está "no limite" (ativa) quase sempre tem um preço-sombra diferente de zero — ela está de fato impedindo um resultado melhor. Já uma restrição "com sobra" (com folga) tem preço-sombra igual a zero — ela não está atrapalhando o resultado, então relaxá-la não ajudaria em nada. O Solver do Excel calcula esses valores automaticamente no Relatório de Sensibilidade, na coluna "Sombra Preço" (ou "Shadow Price").
Com base nesse conceito, responda no seu relatório:
A AeroCarga Internacional Ltda. é uma transportadora aérea de cargas fictícia que opera a partir de um hub central de distribuição. Para o planejamento do próximo mês, a empresa decidiu usar, como referência de mercado, os padrões reais de distância geográfica e de frequência histórica de voos de uma malha aérea real (rede de rotas operada a partir de um grande hub, com dados de fevereiro de 2011), considerando que a estrutura de distâncias e a importância relativa de cada rota permanecem representativas da operação atual da empresa.
A diretoria de operações precisa decidir quantos voos de carga alocar mensalmente a cada uma das seis rotas mais importantes que partem do hub, respeitando o orçamento operacional mensal disponível e os compromissos mínimos e máximos de capacidade contratados em cada rota.
Cada rota tem um custo operacional proporcional à distância percorrida, estimado em R$ 38,00 por quilômetro voado. A empresa dispõe de um orçamento operacional de R$ 20.000.000,00 por mês. Por política comercial, cada rota tem um número mínimo contratual de voos mensais, equivalente a 70% da participação de mercado real daquela rota (calculada sobre uma capacidade de referência da malha de 300 voos/mês), e um número máximo de voos definido pela capacidade física de pátio e slots do aeroporto de destino, equivalente a 160% dessa mesma referência.
Os dados reais de rotas vêm do conjunto público 2011_february_aa_flight_paths.csv, disponibilizado gratuitamente no repositório plotly/datasets (GitHub), no link:
raw.githubusercontent.com/plotly/datasets/master/2011_february_aa_flight_paths.csv
O arquivo contém, para cada rota operada por uma companhia aérea em fevereiro de 2011: as coordenadas geográficas (latitude/longitude) dos aeroportos de origem e de destino, o código IATA de cada aeroporto e o número de voos realizados naquela rota no mês (coluna cnt) — valor interpretado, neste trabalho, como a relevância/demanda histórica real de cada rota.
Para facilitar, o arquivo já está disponível, sem qualquer alteração, com o nome Problema2_Logistica_RotasAereas.csv.
=6371*2*ASEN(RAIZ(SEN(RADIANOS(lat2-lat1)/2)^2+COS(RADIANOS(lat1))*COS(RADIANOS(lat2))*SEN(RADIANOS(lon2-lon1)/2)^2)) — substituindo lat1/lon1 (origem) e lat2/lon2 (destino) pelas células correspondentes.=cnt_da_rota / SOMA(cnt das 6 rotas).Com essas 6 linhas de dados prontas, monte o modelo de Programação Linear definindo 6 variáveis de decisão (voos/mês em cada rota) e escrevendo a função-objetivo e as restrições descritas no enunciado (item 4.1). Resolva o modelo no Solver do Excel.
O que é a análise de sensibilidade?
A análise de sensibilidade mostra o quanto o resultado ótimo mudaria se um dos limites do problema fosse alterado em uma unidade, sem que seja preciso resolver o modelo de novo. Esse número é chamado de preço-sombra (ou valor dual) da restrição. Uma restrição "no limite" (ativa) tem preço-sombra diferente de zero: ela está de fato travando o resultado. Uma restrição "com sobra" (com folga) tem preço-sombra igual a zero: aumentar ou diminuir aquele limite não mudaria em nada a solução ótima. No Solver do Excel, esses valores aparecem na coluna "Sombra Preço" do Relatório de Sensibilidade, uma para cada restrição.
Com base nesse conceito, responda no seu relatório:
A Cristal & Cia Lapidação de Diamantes Ltda. é uma joalheria/lapidária fictícia que compra diamantes brutos e os lapida em cinco categorias de qualidade de corte — Fair, Good, Very Good, Premium e Ideal — antes de revendê-los no mercado. Para o próximo mês, a diretoria comercial precisa decidir quantos quilates de diamante bruto lapidar em cada categoria de corte, respeitando três tipos de limitação: a disponibilidade de matéria-prima (pedra bruta em estoque), a capacidade de mão de obra especializada de lapidação e a demanda máxima que o mercado consegue absorver mensalmente em cada categoria.
A empresa dispõe de 400 quilates de pedra bruta e de 650 horas de mão de obra especializada por mês. O tempo médio de lapidação necessário por quilate varia conforme a categoria, em função da precisão exigida em cada corte: 1,0 hora/quilate (Fair), 1,3 hora/quilate (Good), 1,6 hora/quilate (Very Good), 1,8 hora/quilate (Premium) e 2,2 horas/quilate (Ideal, o corte de maior precisão). O mercado consegue absorver, no total, até 520 quilates lapidados por mês, distribuídos entre as cinco categorias proporcionalmente à importância histórica real de cada uma.
Os preços médios de venda por quilate e a importância relativa (participação de mercado) de cada categoria de corte vêm do conjunto de dados público diamonds, com aproximadamente 53.940 transações reais de venda de diamantes lapidados, disponível gratuitamente no repositório público mwaskom/seaborn-data (GitHub), em:
raw.githubusercontent.com/mwaskom/seaborn-data/master/diamonds.csv
O arquivo contém, entre outras variáveis, o quilate (carat), a categoria de corte (cut), o preço de venda (price) e as dimensões físicas (x, y, z) de cada diamante da amostra. Para facilitar, o arquivo já está disponível, sem qualquer alteração, com o nome Problema3_Vendas_Diamantes.csv.
=price/carat, aplicada a cada linha restante.=MÉDIASE(coluna_cut; "categoria"; coluna_preço_por_quilate).=SOMASE(coluna_cut; "categoria"; coluna_carat) — ou o número de registros com =CONT.SE(coluna_cut; "categoria"), caso prefira usar contagem em vez de quilates.O que é a análise de sensibilidade?
A análise de sensibilidade mostra o quanto a receita ótima mudaria se um dos limites do problema fosse alterado em uma unidade, sem precisar resolver o modelo de novo. Esse número é o preço-sombra (ou valor dual) da restrição. Quando um recurso é usado por inteiro (restrição ativa), seu preço-sombra é maior que zero: ele está de fato limitando a receita. Quando sobra recurso (restrição com folga), o preço-sombra é zero: ter um pouco mais daquele recurso não mudaria em nada o resultado. No Solver do Excel, esses valores aparecem na coluna "Sombra Preço" do Relatório de Sensibilidade.
Com base nesse conceito, responda no seu relatório: