Exercício 1 — Dois produtos e dois equipamentos
modelagem + gráfico
Uma empresa fabrica os produtos A e B utilizando dois equipamentos que limitam a
capacidade de produção. Em determinado período estão disponíveis 30 horas do
equipamento 1 e 80 horas do equipamento 2.
Produto A
- 1 h do equipamento 1 por unidade;
- 2 h do equipamento 2 por unidade;
- lucro unitário: R$ 150.
Produto B
- não utiliza o equipamento 1;
- 2 h do equipamento 2 por unidade;
- lucro unitário: R$ 50.
Pede-se: a) formular o modelo de programação linear visando maximizar o lucro; b) resolver graficamente.
Exercício 2 — Produção de ternos
modelagem + gráfico
Uma empresa do ramo de confecções deve decidir quanto produzir de dois modelos de
terno, Executivo Master e Caibem. A produção está limitada pelas horas disponíveis
de costura e acabamento. Há 180 horas-máquina de costura e, no máximo, 240
homens-hora de acabamento.
Executivo Master
- lucro unitário: R$ 120;
- costura: 2 h-máquina/unidade;
- acabamento: 2 homens-hora/unidade.
Caibem
- lucro unitário: R$ 70;
- costura: 1 h-máquina/unidade;
- acabamento: 4 homens-hora/unidade.
Pede-se: a) formular o modelo de programação linear; b) resolver graficamente.
Exercício 3 — Dois produtos e dois recursos escassos
modelo dado parcialmente
Na fabricação dos produtos X e Y são válidas as seguintes restrições:
x + 2y ≤ 80
2x + 2y ≤ 120
x, y ≥ 0
Cada unidade de X fornece lucro de R$ 20 e cada unidade de Y fornece lucro de R$ 30.
Pede-se: a) formular o modelo completo visando maximizar o lucro; b) resolver graficamente.
Exercício 4 — Maximização
método gráfico
Maximizar Z = 3x + y
Sujeito a:
2x + y ≤ 30
x + 4y ≤ 40
x, y ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
Exercício 5 — Maximização com três restrições
método gráfico
Maximizar Z = x + 2y
Sujeito a:
x ≤ 3
y ≤ 5
2x + 2y ≤ 12
x, y ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
Exercício 6 — Minimização
método gráfico
Minimizar Z = 2x + y
Sujeito a:
x + y ≥ 10
2x + 3y ≥ 14
x, y ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
Exercício 7 — Minimização com duas restrições
método gráfico
Minimizar Z = 4x + y
Sujeito a:
2x + 2y ≥ 10
x + 6y ≥ 20
x, y ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
Exercício 8 — Acréscimo de uma hora no equipamento 1
sensibilidade
Retome o Exercício 1. Considere agora que o equipamento 1 tenha 31 horas disponíveis,
em vez de 30, mantendo-se inalterada a disponibilidade do equipamento 2.
Pede-se: a) resolver graficamente o novo problema; b) determinar o novo lucro total;
c) determinar quanto a 31ª hora disponível do equipamento 1 acrescenta ao lucro.
Exercício 9 — Acréscimo de uma hora no equipamento 2
sensibilidade
Retome o Exercício 1. Considere agora que a disponibilidade do equipamento 2 passe
de 80 para 81 horas, mantendo-se inalterados os demais dados do exercício.
Pede-se: a) resolver graficamente o novo problema; b) determinar o novo lucro total;
c) determinar quanto a 81ª hora disponível do equipamento 2 acrescenta ao lucro.
Exercício 10 — Dois produtos e três recursos
modelagem + gráfico
Uma fábrica dispõe de três recursos em quantidades limitadas. Podem ser produzidos
os produtos A e B. Há 1.200 unidades do recurso 1, 400 unidades do recurso 2 e 80
unidades do recurso 3. O produto A proporciona lucro unitário de R$ 100 e o produto B,
lucro unitário de R$ 300.
1 unidade do produto A requer
- 20 unidades do recurso 1;
- 4 unidades do recurso 2;
- nenhuma unidade do recurso 3.
1 unidade do produto B requer
- 20 unidades do recurso 1;
- 20 unidades do recurso 2;
- 4 unidades do recurso 3.
Pede-se: a) colocar o problema como um modelo de programação linear; b) resolver graficamente.
H&L 3.1-1 — Uso de software
exploração
Escolha um dos problemas já apresentados e resolva-o com um software de Programação Linear, registrando as etapas e a solução obtida.
H&L 3.1-2 — Construção da região viável
método gráfico
Para cada conjunto de restrições a seguir, trace as retas-limite e identifique a região de soluções não negativas que as satisfaz.
H&L 3.1-3 — Retas de função objetivo
função objetivo
Pede-se: desenhar as retas da função objetivo correspondentes a Z = 6, Z = 12 e Z = 18.
H&L 3.1-4 — Inclinação e interceptos
geometria da PL
Pede-se: a) encontrar a inclinação e o intercepto da reta; b) verificar a inclinação usando dois pontos de interseção com os eixos; c) usar essas informações para traçar a reta.
H&L 3.1-5 — Maximização com três restrições
método gráfico
Maximizar Z = 2x₁ + x₂
x₂ ≤ 10
2x₁ + 5x₂ ≤ 60
x₁ + x₂ ≤ 18
3x₁ + x₂ ≤ 44
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: resolver pelo método gráfico.
H&L 3.1-6 — Maximização com região poligonal
método gráfico
Maximizar Z = 10x₁ + 20x₂
−x₁ + 2x₂ ≤ 15
x₁ + x₂ ≤ 12
5x₁ + 3x₂ ≤ 45
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
H&L 3.1-7 — Whitt Window Co.
modelagem + gráfico
Uma empresa produz janelas com esquadria de madeira e de alumínio. O lucro unitário é de US$ 180 para madeira e US$ 90 para alumínio. Há três funcionários: um produz até 6 esquadrias de madeira por dia; outro, até 4 esquadrias de alumínio; e o terceiro dispõe de 48 pés² de vidro por dia. Cada janela de madeira usa 6 pés² de vidro e cada janela de alumínio, 8 pés².
Pede-se: formular o modelo e determinar graficamente a produção diária que maximiza o lucro.
H&L 3.1-8 — WyndLight Company
modelagem + gráfico
A empresa produz dois tipos de luminárias. O produto 1 requer 2 h de estrutura metálica e 1 h de componentes elétricos; o produto 2 requer 1 h de estrutura metálica e 2 h de componentes elétricos. Estão disponíveis, no máximo, 200 h de estrutura metálica e 300 h de componentes elétricos. O lucro unitário é de US$ 1 para o produto 1 e US$ 2 para o produto 2, e a demanda do produto 2 é limitada a 60 unidades.
Pede-se: formular e resolver graficamente o modelo.
H&L 3.1-9 — Seguros: risco especial e hipotecas
modelagem + gráfico
Uma empresa comercializa dois produtos: seguro de risco especial e hipotecas. O lucro unitário é de US$ 5 e US$ 2, respectivamente. As necessidades de trabalho são:
Risco especial
- Subscrição: 3 h
- Administração: 0 h
- Pedidos de indenização: 2 h
Hipotecas
- Subscrição: 2 h
- Administração: 1 h
- Pedidos de indenização: 0 h
Disponibilidades: 2.400 h de subscrição, 800 h de administração e 1.200 h de pedidos de indenização.
Pede-se: formular e resolver graficamente, verificando a solução ótima pela interseção das restrições relevantes.
H&L 3.1-10 — Bolos e Pães
modelagem + gráfico
A empresa fabrica salsichas e pães para cachorro-quente. Há, no máximo, 200 lb de farinha por semana; cada pão usa 0,1 lb. Existe contrato para entrega de 800 lb de carne suína por semana. A mão de obra disponível é de 200 h/semana. Cada salsicha exige 3 min de trabalho e cada pão, 2 min. O lucro unitário é de US$ 0,80 por salsicha e US$ 0,30 por pão.
Pede-se: formular e resolver graficamente o modelo de maximização do lucro.
H&L 3.1-11 — Omega: três produtos e três máquinas
modelagem + simplex
Uma fábrica dispõe semanalmente de 500 h de fresadora, 350 h de torno e 150 h de retificadora. Os tempos por unidade são:
Fresadora: P1 = 9, P2 = 3, P3 = 5
Torno: P1 = 5, P2 = 4, P3 = 0
Retificadora: P1 = 3, P2 = 0, P3 = 2
Os lucros unitários são US$ 50, US$ 20 e US$ 25 para os produtos 1, 2 e 3; a produção do produto 3 é limitada a 20 unidades por semana.
Pede-se: formular o modelo e solucioná-lo por computador pelo método simplex.
H&L 3.1-12 — Coeficiente da função objetivo
análise gráfica
Maximizar Z = c₁x₁ + x₂
x₁ + x₂ ≤ 6
x₁ + 2x₂ ≤ 10
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: determinar graficamente a(s) solução(ões) ótima(s) para os diferentes valores de c₁.
H&L 3.1-13 — Parâmetro k em uma restrição
sensibilidade
Maximizar Z = x₁ + 2x₂
−x₁ + x₂ ≤ 2
x₂ ≤ 3
kx₁ + x₂ ≤ 2k + 3, k ≥ 0
x₁, x₂ ≥ 0
A solução atualmente utilizada é x₁ = 2, x₂ = 3.
Pede-se: usar análise gráfica para determinar os valores de k que tornam essa solução efetivamente ótima.
H&L 3.1-14 — Coeficientes c₁ e c₂
sensibilidade
Maximizar Z = c₁x₁ + c₂x₂
2x₁ + x₂ ≤ 11
−x₁ + 2x₂ ≤ 2
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: determinar graficamente a(s) solução(ões) ótima(s) em função dos valores de c₁ e c₂.
H&L 3.2-1 — Dois produtos, três recursos
modelagem + gráfico
Considere os recursos Q, R e S, com disponibilidades 2, 2 e 4. O consumo por unidade dos produtos A e B é: Q = (2,1), R = (1,2), S = (3,3). Os lucros unitários são 3 para A e 2 para B.
Pede-se: formular, resolver graficamente e verificar a solução ótima por meio da solução simultânea das equações relevantes.
H&L 3.2-2 — Região viável dada
conceitual
Considere uma região viável poligonal com vértices (0,0), (0,2), (3,3), (6,3) e (6,0).
Pede-se: julgar afirmações sobre possíveis soluções ótimas e múltiplas soluções ótimas, justificando graficamente.
H&L 3.2-3 — Escolha de investimentos
modelagem + gráfico
Você dispõe de US$ 6.000 para investir e de até 600 horas no próximo verão. O investimento A exige US$ 5.000 e 400 h e gera lucro estimado de US$ 4.500. O investimento B exige US$ 4.000 e 500 h e também gera lucro estimado de US$ 4.500. É possível adquirir frações de cada participação.
Pede-se: formular e resolver graficamente o problema para maximizar o lucro estimado.
H&L 3.2-4 — Soluções ótimas múltiplas
método gráfico
Maximizar Z = 500x₁ + 300x₂
15x₁ + 5x₂ ≤ 300
10x₁ + 6x₂ ≤ 240
8x₁ + 12x₂ ≤ 450
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: encontrar graficamente todas as soluções ótimas.
H&L 3.2-5 — Modelo inviável
inviabilidade
Maximizar Z = 5x₁ + 7x₂
2x₁ − x₂ ≤ −1
−x₁ + 2x₂ ≤ −1
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: demonstrar graficamente que não existe solução viável.
H&L 3.2-6 — Região ilimitada
ilimitabilidade
−x₁ + 2x₂ ≤ 50
−2x₁ + x₂ ≤ 50
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: a) mostrar que a região viável é ilimitada; b) analisar a existência de solução ótima para Z = −x₁ + x₂; c) repetir para Z = x₁ − x₂; d) discutir por que uma região ilimitada não implica necessariamente ausência de solução ótima.
H&L 3.3-1 — Hipóteses da Programação Linear
conceitual
Retome o problema de investimentos do Exercício H&L 3.2-3.
Pede-se: discutir por que cada uma das quatro hipóteses da Programação Linear é razoável para esse problema, identificando a hipótese mais discutível e como tratá-la caso necessário.
H&L 3.3-2 — Teste das hipóteses de PL
conceitual
Considere duas variáveis de decisão x₁ e x₂, cada uma podendo assumir os níveis 0, 1 ou 2. Os valores da função objetivo Z para as combinações viáveis são:
x₁=0: Z = 0, 4, 8
x₁=1: Z = 3, 8, 13
x₁=2: Z = 6, 12, 18
(colunas correspondem a x₂ = 0, 1, 2)
Pede-se: indicar se o problema satisfaz completamente cada hipótese da Programação Linear e justificar.
H&L 3.4-5 — Minimização
método gráfico
Minimizar Z = 15x₁ + 20x₂
x₁ + 2x₂ ≥ 10
2x₁ − 3x₂ ≤ 6
x₁ + x₂ ≥ 6
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
H&L 3.4-6 — Minimização com igualdade
método gráfico
Minimizar Z = 3x₁ + 2x₂
x₁ + 2x₂ ≤ 12
2x₁ + 3x₂ = 12
2x₁ + x₂ ≥ 8
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: resolver graficamente.
H&L 3.4-7 — Coeficiente c₁
sensibilidade
Maximizar Z = c₁x₁ + 2x₂
4x₁ + x₂ ≤ 12
x₁ − x₂ ≥ 2
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: determinar graficamente a(s) solução(ões) ótima(s) para os diversos valores possíveis de c₁.
H&L 3.4-8 — Alterações nas restrições
sensibilidade
Minimizar Z = 40x₁ + 50x₂
2x₁ + 3x₂ ≥ 30
x₁ + x₂ = 12
2x₁ + x₂ ≥ 20
x₁, x₂ ≥ 0
Pede-se: a) resolver graficamente; b) reavaliar a solução se a função objetivo for alterada para Z = 40x₁ + 70x₂; c) determinar como a solução muda se a terceira restrição for alterada para 2x₁ + x₂ ≥ 15, usando análise gráfica e de sensibilidade.
H&L 3.4-9 — Dieta de bifes e batatas
modelagem + minimização
Uma refeição pode combinar bifes e batatas. Por porção, bifes fornecem 5 g de carboidratos, 20 g de proteína e 15 g de gordura; batatas fornecem 15 g de carboidratos, 5 g de proteína e 2 g de gordura. As exigências diárias são, respectivamente, pelo menos 50 g de carboidratos, pelo menos 40 g de proteína e no máximo 60 g de gordura. O custo por porção é US$ 4 para bifes e US$ 2 para batatas.
Pede-se: formular o modelo de custo mínimo, resolver pelo método gráfico e, opcionalmente, pelo método simplex.