ANEXO 3 - Representação numérica: binário puro, inteiros negativos, ponto flutuante

3.1 Representação de números em binário puro

As grandezas numéricas representadas nos sistemas computacionais utilizam o sistema binário de numeração.

Os conjuntos dos números discutidos na matemática do "sistema decimal" também merecem um tratamento próprio nos sistemas computacionais.

Nos sistemas computacionais, em certas circunstâncias, é necessário tratar somente o valor absoluto, isto é, sem sinal, do número inteiro.

Designaremos essa representação dos números dos sistemas computacionais como representação em binário puro.

3.2 A palavra de máquina

"Em ciência da computação, palavra (em inglês: word) é a unidade natural de informação usada por cada tipo de computador em particular.

É uma sequência de bits de tamanho fixo que é processado em conjunto numa máquina." Wikipédia

Para não haver equívoco, sempre que nos referirmos a uma grandeza numérica tratada pelos sistemas computacionais, definiremos o tamanho da palavra, conforme o sentido descrito acima, da arquitetura.

3.3 Representação de números inteiros negativos

Seja um número binário negativo com m bits, ele pode ser representado das seguintes notações:

• Representação em bit sinal (sinal e magnitude)
• Representação em complemento de 1
• Representação em complemento de 2
• Representação em excesso 2^m-1

3.3.1 Representação em sinal e magnitude (bit sinal)

a. Representação

Seja um número de m bits, N = b_m-1 ... b₁ b₀, usando a notação em bit sinal,

1. Na posição mais significativa, utiliza-se o bit sinal para os números positivos e negativos
2. Os demais bits representam o valor representado em binário puro
3. Utilizaremos como notação que o bit sinal igual a 0 define números positivos e que o bit sinal igual a 1 define números negativos

b. Características

1. Dos m bits, 1 bit fica reservado ao sinal
2. Faixa de representação: -(2^m-1-1) a +(2^m-1-1). A faixa de representação representa os limites dos números contemplados, desde o inteiro mais negativo até o inteiro mais positivos.
3. Dupla representação do 0 – todos os bits iguais a 0, com bit sinal 0 ou 1.

3.3.2 Representação em complemento de 1

a. Complemento de números

O complemento de um número de m dígitos é a diferença entre o maior número de m dígitos naquela base e o número considerado.
Por exemplo, na base 10, o complemento de 12 é 87, pois 99 (maior número com 2 dígitos) menos 12 é igual a 87.

Na base 2, para obter o complemento basta inverter os bits do número binário.

Por exemplo C₁(1011) = 1111-1011 = 0100 (inversão dos bits de 1011), onde C₁ representa a operação complemento, chamado na base 2 de complemento de 1.

b. Representação em complemento de 1

Considerando o que foi tratado acima, seja um número de m bits, N = b_m-1 ... b₁ b₀, usando a notação em complemento de 1,

1. Na posição mais significativa, utiliza-se o bit sinal para os números positivos e negativos
2. Na faixa dos números positivos, o bit sinal é 0, seguido pelos demais bits representando o valor em binário puro
3. Na faixa dos números negativos, o bit sinal é 1, seguido pelo complemento de 1 do respectivo simétrico positivo

c. Características

1. Dos m bits, 1 bit fica reservado ao sinal
2. Faixa de representação: -(2^m-1-1) a +(2^m-1-1).
3. Dupla representação do 0 – todos os bits iguais a 0 todos os bits iguais a 1.

3.3.3 Representação em complemento de 2

a. Representação

O complemento 2 de números binários obtém-se pela soma do complemento de 1 com o bit 1.

Ou seja, C₂(N) = C₁(N) + 1.

Considerando o que foi tratado acima, seja um número de m bits, N = b_m-1 ... b₁ b₀, usando a notação em complemento de 1,

1. Na posição mais significativa, utiliza-se o bit sinal para os números positivos e negativos
2. Na faixa dos números positivos, o bit sinal é 0, seguido pelos demais bits representando o valor em binário puro
3. Na faixa dos números negativos, o bit sinal é 1, seguido pelo complemento de 2 do respectivo simétrico positivo
4. A faixa dos negativos possui uma palavra 10...0, que não possui simétrico positivo - esse é o valor mais negativo

b. Características

1. Dos m bits, 1 bit fica reservado ao sinal
2. Faixa de representação: -(2^m-1) a +(2^m-1-1).
3. Não possui dupla representação do 0.

3.3.4 Representação em excesso de 2^m-1

a. Representação

Seja um número de m bits, N = b_m-1 ... b₁ b₀, usando a notação em excesso m-1, a representação binária é a mesma da representação em binário puro deslocada de até a faixa dos negativos em 2^m-1.

1. O número mais negativo é o decimal -2^m-1, representado por todos m bits iguais a 0.
2. Incrementa-se 1 a cada número seguinte até o número mais positivo.

Cada número em representação de excesso m-1 equivale ao binário puro de m bits decrementado de -2^m-1. Por exemplo, em palavras de 4 bits, o excesso é 2³=8. A representação de 0d (em decimal) em binário puro é 0000, que corresponde a 0-8=-8 em excesso 8. A representação de 12d em binário puro é 1100, que corresponde a (12-8)=+4 em excesso 8.

b. Características

1. Não utiliza bit sinal.
2. Faixa de representação: -(2^m-1) a +(2^m-1-1).
3. Não possui dupla representação do 0.

3.4 Visão geral

A tabela apresenta uma comparação entre representações de inteiros negativos e positivos em um sistema cuja palavra possui 4 bits.

3.5 Representação em ponto flutuante

Os números reais, particularmente os números fracionários, podem ser representados usando-se notação científica, na forma

N = f × 10^e

, onde f é a fração ou mantissa e e é o expoente.

Computacionalmente, o equivalemente aos números fracionários representados em notação científica, são os números com representação em ponto flutuante.

Pela representação em ponto flutuante convenciona-se o número de dígitos para representar mantissa e expoente.

Nesse sentido, um sistema com palavras de m bits utiliza, n bits para representar a mantissa (ou fração) e k=m-n bits para representar o expoente.

Tanto mantissa quanto expoente podem utilizar uma das representações de números negativos discutidas anteriormente.

Admitindo que a faixa de representação da notação usada para a mantissa seja -N a +M e para o expoente seja -P a +Q,a faixa de representação dos números de ponto flutuante será

• no semi eixo dos números negativos, -N.10^+Q a -10^-P
• 0 (mantissa igual a 0)
• no semi eixo dos números positivos, *+10^-P a +M.10^+Q

A representação pode ser caracterizada pela faixa de representação (limites da representação numerica) e pela precisão:

• a faixa de representação é determinada pelo número de dígitos do expoente; e
• a precisão é determinada pelo número de dígitos da mantissa.