ANEXO 1 — Grandezas Numéricas e Unidades de Medida

1.1 Medindo fenômenos

Os fenômenos naturais e tecnológicos podem ser observados por seus efeitos. Para descrevê-los de forma objetiva, é necessário mensurá-los. A medição associa ao fenômeno uma grandeza numérica e uma unidade de medida. Assim, expressões como 5 V, 27 °C, 3,2 s ou 80 km/h combinam um valor numérico com a unidade empregada para caracterizar a grandeza observada.

1.1.1 Representação formal de grandezas numéricas

Na expressão N_b, N representa o número e b representa a base, isto é, a cardinalidade de um conjunto finito e ordenado de dígitos:

B_b=\{d_0,d_1,\ldots,d_{b-1}\}

O conjunto B_b contém exatamente b dígitos distintos. Esses dígitos são ordenados segundo seu valor. Assim, se dois dígitos d_i e d_j aparecem no conjunto e j>i, então:

d_j > d_i

Consequentemente, cada sistema de numeração é definido por uma base e pelo conjunto ordenado de símbolos admitidos como dígitos. Por exemplo, a base 2 utiliza dois dígitos; a base 10 utiliza dez; e a base 16 utiliza dezesseis.

a. Notação posicional

Considere um número N_b representado por m dígitos. Na notação posicional, ele é escrito como:

N_b=(d_{m-1}d_{m-2}\ldots d_2d_1d_0)_b

Os subscritos indicam a posição relativa ocupada por cada dígito. Em um número com m dígitos, as posições são numeradas da direita para a esquerda, de 0 até m-1:

• d_0 ocupa a posição 0 e é o dígito menos significativo (LSD, Least Significant Digit);
• d_{m-1} ocupa a posição m-1 e é o dígito mais significativo (MSD, Most Significant Digit);
• os demais dígitos ocupam posições intermediárias.

O termo “significativo” decorre do peso associado à posição. Quanto mais à esquerda estiver o dígito, maior será a potência da base que o pondera.

b. Notação polinomial

A notação polinomial explicita o peso posicional de cada dígito. Para um número inteiro não negativo com m dígitos:

N_b=\sum_{i=0}^{m-1} d_i\,b^i

ou, de forma expandida:

N_b=d_{m-1}b^{m-1}+d_{m-2}b^{m-2}+\cdots+d_2b^2+d_1b^1+d_0b^0

Essa expressão mostra formalmente por que a posição altera o valor representado por um mesmo dígito: cada d_i é multiplicado por uma potência de b determinada por sua posição i.

1.1.2 Base 10, múltiplos e submúltiplos

O sistema decimal utiliza a base b=10 e o conjunto ordenado:

B_{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

Assim, por exemplo:

(527)_{10}=5\cdot10^2+2\cdot10^1+7\cdot10^0

Para representar grandezas muito grandes ou muito pequenas, utiliza-se convenientemente a notação em potências de 10 e os prefixos do Sistema Internacional.

Por exemplo, 1\,ns=10^{-9}\,s e 1\,GHz=10^9\,Hz.

1.2 Bases 2 e 16 nos sistemas computacionais

Qualquer base inteira b\ge2 pode definir um sistema posicional. Além da base 10, podem ser usados, por exemplo, sistemas de base 3, 8, 12 ou 16. Em Arquitetura de Computadores, entretanto, duas bases merecem destaque especial: base 2 e base 16.

1.2.1 Base 2 — sistema binário e bit

O sistema binário utiliza:

B_2=\{0,1\}

Cada dígito binário recebe o nome de bit, contração de binary digit. Um bit pode assumir apenas um dos dois valores matemáticos possíveis: 0 ou 1.

Oito bits formam convencionalmente um byte:

1\ byte = 8\ bits

1.2.2 Múltiplos binários e a ambiguidade do “k”

Como a organização das memórias digitais está diretamente relacionada a potências de 2, aparece com frequência o valor:

2^{10}=1024

Historicamente, 1024 bytes foi frequentemente chamado de “1 KB” ou, informalmente, “1 k”. Isso cria uma ambiguidade, porque no Sistema Internacional o prefixo quilo (k) significa exatamente 10^3=1000.

Assim, em textos técnicos, é conveniente distinguir os prefixos decimais k, M, G dos prefixos binários Ki, Mi, Gi.

1.2.3 Base 16 — sistema hexadecimal

O sistema hexadecimal utiliza dezesseis dígitos:

B_{16}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}

Os símbolos A, B, C, D, E e F representam, respectivamente, os valores decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15.

A base 16 é especialmente conveniente em sistemas computacionais porque:

16=2^4

Logo, um dígito hexadecimal representa exatamente quatro bits. Como um byte possui oito bits, dois dígitos hexadecimais representam exatamente um byte.

Essa correspondência direta torna a representação hexadecimal mais compacta e facilita a leitura de endereços de memória, registradores, códigos de máquina e máscaras de bits.

1.3 Conversão de bases

As grandezas numéricas possuem representações equivalentes entre os diferentes sistemas de numeração. A tabela apresenta a equivalência dos dígitos numéricos dos sistemas de base 2 (binária), 10 (decimal) e 16 (hexadecimal).

1.3.1 Conversão de grandezas numéricas da base 10 para as bases 2 e 16: Método das divisões sucessivas

Para obter o número representado em base 10 (N₁₀) no seu equivalente em base 2 (N₂) ou em base 16 (N₁₆), aplica-se o seguinte método:

1. Aplicar a divisão inteira de N₁₀ pela base para a qual se deseja converter (2 ou 16)
2. Em seguida, aplicar repetidas vezes a divisão do quociente obtido na divisão anterior pela base para a qual se deseja converter (2 ou 16)
3. Parar as divisões quando obter quociente igual a 0.
4. O número na nova base (2 ou 16) na notação posicional será formado pelos restos obtidos, de tal modo que o último resto é o dígito mais significativo.

Na conversão da base 10 para a base 2 pode-se também utilizar o comportamento da notação polinomial.

1. A partir do dígito mais significativo, preencher com o binário 1 as potências de 2 cuja soma não ultrapasse o número a ser convertido.
2. Preencher com 0 as potências que não 'couberam' (cuja soma ultrapassou o número decimal a ser convertido).

A tabela mostra um exemplo para 235₁₀ convertido à base 2.

1.3.2 Conversão de grandezas numéricas da base 2 ou base 16 para a bases 10: Método da soma polinomial

Para obter o número representado em base 2 (N₂) ou base 16 (N_h) no seu equivalente em base 10 (N₁₀), aplica-se o seguinte método:

1. Representar N₂ ou (N_h na sua forma polinomial

• no caso de base 2, cada termo do polinômio é dado pelo dígito binário (1 ou 0) multiplicado por 2^j, onde j é a posição relativa do dígito no número;
• no caso de base 16, cada termo do polinômio é dado pelo decimal equivalente ao dígito hexadecimal multiplicado por 16^j, onde j é a posição relativa do dígito hexadecimal no número;

2. Aplicar a adição dos termos.

1.3.3 Conversão de grandezas numéricas da base 2 para a base 16

Para obter o número representado em base 2 (N₂) no seu equivalente em base 16 (N₁₀), aplica-se o seguinte método:

1. Do dígito binário menos significativo ao mais significativo separam-se grupos de 4 dígitos binários.
2. Converte-se cada grupo de 4 dígitos binários ao seu equivalente em base 16.
3. O número na nova base (16) na notação posicional será formado pelos dígitos em base 16 de cada grupo.

1.3.4 Representação das grandezas numéricas nos sistemas computacionais

As grandezas numéricas utilizadas pelos computadores podem ser representadas em qualquer sistema de numeração. Para não haver ambiguidade de interpretação, utilizaremos a seguinte notação:

• Números representados em base decimal serão indicados sucedidos pelo caracter d, na forma Nd, ou simplesmente N quando o contexto não deixar margem a dúvida - por exemplo, 126d;
• Números representados em base binária serão indicados simplesmente pelos seus dígitos - por exemplo, 1011101;
• Números representados em base hexadecimal serão indicados preferencialmente precedidos pelos caracteres 0x, na forma 0xN - por exemplo, 0xAF34. Eventualmente, poderão ser usadas as formas Nh.